a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)

S_AEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); S_ABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos²A   (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))

b) làm tương tự câu a ta được S_BFD=cos²B.S_ABC; S_CED=cos²C.S_ABC

_=> S_DEF =S_ABC-S_AEF-S_BFD-S_CED = (1-cos²A-cos²B-cos²C)S_ABC

a)

\(\Delta EAB\) ~ \(\Delta FAC\) (g - g)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\cos^2A\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\cos^2A\left(S_{ABC}=1\right)\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có: \(S_{BFD}=\cos^2B\) (2) và \(S_{CDE}=\cos^2C\) (3)

Cộng theo vế của (1) , (2) và (3) => đpcm

b)

\(S_{DEF}=S_{ABC}-\left(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}\right)\text{ }\)

\(=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)

\(=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\) (đpcm)

a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)

Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)

Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)

b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)

Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)

Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)

Chúc em học tốt :)))

minh k bit

a)Tam giác ABD vuông tại D có BD = AB.cos B

Tam giác BCE vuông tại E có CE=BC.cos C

Tam giác CÀ vuông tại F có AF=CA.cos A

Suy ra : \(AF.BD.CE=AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC\)

b) Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ACF\) có :

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAF}\left(gt\right)\)

nên \(\Delta ABE\) đồng dạng \(\Delta ACF\)(gg)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)(1)

Lại có \(\widehat{FAE}=\widehat{CAB}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AFE\)đồng dạng\(\Delta ACB\)(cgc)

\(\Rightarrow\frac{S_{AFE}}{S_{ACB}}=\frac{AE^2}{AB^2}=\frac{S_{AFE}}{144}\)(*)

\(\Delta ABE\)vuông tại E có\(\widehat{BAE}=60^0\Rightarrow\widehat{ABE}=30^o\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{AE^2}{AB^2}=\frac{1}{4}\)

Thay vào (*) ta có \(\frac{S_{AFE}}{144}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{AFE}=36\)